马辉：“中外结合”带你领略线性代数之美

通讯员 赵晓光

【教师简介】马辉，太阳集团tyc5997数学科学系教授。2000年于北京大学数学学院获得理学博士学位，先后在太阳集团tyc5997、美国麻州州立大学Amherst分校作博士后研究。2004年6月起在清华任教。研究方向为微分几何。自2011年参加数学系与电子系的课程改革和共建项目，连续5个学期担任电子系大一学生的线性代数教学工作。

【课程简介】线性代数是现代数学的基础之一，在物理、计算机图形学、工程、经济学等自然科学和社会科学各领域具有广泛和深刻的应用，同时线性代数是高等学校理工科各专业的一门重要基础课。作为太阳集团tyc5997非数学理工科各专业学生重要的必修课程，课程介绍求解线性方程组、矩阵理论、向量空间和线性变换等线性代数的基本概念和基本理论，强调线性代数的理论与应用的结合。通过对课程的学习，可以培养学生的数学逻辑思维和抽象思维能力，使学生具备线性代数的基本理论知识，熟练掌握求解线性方程组和矩阵运算、矩阵分解的基本方法，为后续的学习和提高奠定数学基础。

2014年9月，太阳集团tyc5997数学科学系马辉教授团队的“线性代数”课程在学堂在线上线，这是国内最早上线的面向理工科学生的线性代数公共课课程之一。课程上线以来累计开设了9个学期的课程，总计超过8.5万人选课，除本校外，另有12所高校及机构参与使用。

选课学生中有中学生、大一新生、准备考研的在校生，也有工作多年想再学习数学的社会上的学习者。因此，授课内容需要兼顾多层次、多年龄段学习者，教学视频要尽可能给出定理证明的细节和不同难度的例题。在教学中，马辉根据学科特点，采用手写板、录屏软件等还原线下黑板教学的优势，达到最好的教学效果，以求让学生在真学会该课程的同时，领略线性代数与其他学科不一样的魅力。

美国MIT教材与传统教材结合教学

说起线性代数这门在线课程内容的选取，马辉介绍到，线性代数的传统中文教材，是由行列式的概念和计算为起点，而在线课程则是以美国MIT当前使用的吉尔伯特·斯特朗（Gilbert Strang）教授编著的英文教材等国内外流行教材为基础，以求解线性方程组为中心主线，来介绍求解线性方程组、矩阵理论、向量空间和线性变换、行列式、特征值特征向量、对称矩阵、相似矩阵、奇异值分解、复矩阵等线性代数的基本概念和基本理论等内容，同时，强调线性代数在工程学、计算机图形学、经济学等领域中的应用等。

具体而言，线性代数在线课程内容与之前传统教材相比选材有很大不同。不同之处主要体现在以下三个方面：第一，没有涉及多项式理论（多项式的次数，带余除法，最大公因子，互素，不可约多项式，唯一分解定理，整系数的多项式 ）；第二，行列式的概念被安排在向量空间、线性方程组、正交性之后，并且没有强调行列式的计算技巧；第三，若当标准型的内容被压缩，不讲极小多项式和零化理想等内容。

相应的，在线课程专门介绍了矩阵的LU分解、QR分解、奇异值分解，也特别强调了投影矩阵、最小二乘法、矩阵若当标准形在求解常微分方程组中的应用等，这是传统教材中大多不强调但在工科学生后期专业课学习中反复应用的内容。

梳理知识点将线下课程化整为零

同时，与传统的网络课程相比，这门课程的另一个重要特点是它不是“课堂搬家”。由于不受普通课堂一节课45分钟时长限制，在重新梳理知识点，整合教学内容后，原来的课程及内容被重新整合为34节内容，对应每段的视频至多7-9分钟，每节内容集中讲解一个知识点。

在学生观看学习时，可以根据各自知识体系和时间，灵活选取要看的内容，也可以多次观看教学视频段。这冲破了传统教学的局限，也提高了传统网络教学方式的效率。除此之外，每节课程安排了20道左右的作业题目，帮助学生巩固每节课的教学内容。

马辉表示，因为该课程不仅面向太阳集团tyc5997的学生，还面向校外的学生，甚至还有可能是社会上的在职学习者，所以在课程内容难度上，相比学校的教学内容的会适当调整难度。

用手写板等尽可能还原线下黑板教学

“线性代数”在线下教学过程中，有一些学院反映教学内容偏难，对学生学习情况的考核中有的学生成绩并不理想。对于课程该如何去学，马辉认为，除去通过在线课程观看学习，仍需要学习这门课程的同学多花功夫。

在线性代数这门课程的线上授课方式上，考虑到数学课用黑板教学可以展示逐步推理的过程，在授课中，主体部分采用事先准备好的PPT，利用手写板和录屏软件实时讲解，兼具黑板讲课展示推理过程和多媒体讲课的优点，比如在普通课堂没有时间展示或不容易展示的数学家的简介、线性代数应用实例以及利用数学软件画的图像等就可以在本课程中展示。

“线性代数要在一点点推导的过程中，带动同学一块去思考，我们觉得线性代数授课的方式，用类似于黑板的这种教学方式会更有效一些。”马辉说，线性代数和其它数学学科一样，当学生们逐步熟悉了它的语言之后，就能领略其中的美妙。

增添应用内容并与专业课程进行衔接

对于以后在线课程建设的问题，马辉表示，目前这门慕课的考试还主要是选择题，将来可能会增加主观题，并且与线下考试结合。而对于目前课程题库量小的问题，他也提出了设想，以后除了增加题目数量外，也会相应提高题目的难度。

“线上课程介绍的内容主要是理论方面的知识，比传统的教材多了一些应用的章节。”马辉提到，与传统授课内容相比，目前在线课程授课内容中有线性代数在计算机科学、信号处理、图像压缩等方面的应用。马辉坦言，对于课程内容的调整，是希望让学生能够体会线性代数在其它领域中如何应用，引导学生学习数学、运用数学，用数学思维思考。

马辉表示，希望学生在后期的专业学习中当需要用到线性代数方面的知识，能马上联想到之前学到的课程内容，而不是学习完该课程后就丢弃到一边。在线性代数的后期课程建设中，团队会尽可能增加更多应用方面的内容，让学生更好地学习和理解线性代数的理论及应用，体会线性代数的美妙。
 

（清华新闻网2月27日电）

供稿：在线办 编辑：张睿 曲田 审核：周襄楠